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旋转公式
$$
\begin{cases}
x = x_0 \cos \theta - y_0 \sin \theta \
y = x_0 \sin \theta + y_0 \cos \theta
\end{cases}
$$
向量法基底法证明
分别用基底向量表示：
$$
\begin{cases}
\vec{OA} = x \vec e_x + y \vec e_y \
\vec{OA’} = x \vec e’_x + y \vec e’_y
\end{cases}
$$
观察两对基底向量的几何关系可知：
$$
\begin{cases}
\vec e’_x = \vec e_x \cos \theta + \vec e_y \sin \theta \
\vec e’_y = -\vec e_x \sin \theta + \vec e_y \cos \theta
\end{cases}
$$
进一步推导可得：
$$
\begin{align}
\vec{OA’} &= x(\vec e_x \cos \theta + \vec e_y \sin \theta) + y(-\vec e_x \sin \theta + \vec e_y \cos \theta) \
&= (x \cos \theta - y \sin \theta) \vec e_x + (x \sin \theta + y \cos \theta) \vec e_y
\end{align}
$$
由此可得：
$$
\begin{cases}
x’ = x \cos \theta - y \sin \theta \
y’ = x \sin \theta + y \cos \theta
\end{cases}
$$
向量表示法证明
图中的$OA,OA’,OA’’$线段的长度均相等，其中$OA$与$OA’’$相垂直。
由几何关系可知：
$$
\vec{OA’} = \vec{OB} + \vec{BA’}
$$
进一步表示：
$$
\begin{align}
\vec{OA’} &= \vec{OB} + \vec{BA’} \
&= \frac{|\vec{OB}|}{|\vec{OA}|} \vec{OA} + \frac{|\vec{BA’}|}{|\vec{OA’’}|} \vec{OA’’} \
&= \frac{|\vec{OB}|}{\color{red}{|\vec{OA’}|}} \vec{OA} + \frac{|\vec{BA’}|}{\color{red}{|\vec{OA’}|}}\vec{OA’’} \
&= {\color{red}{\cos \theta}} \vec{OA} + {\color{red}{\sin \theta}} \vec{OA’’}
\end{align}
$$
由易知$\vec{OA},\vec{OA’},\vec{OA’’}$的向量坐标为：$(x,y),(x’,y’),(-y,x)$
$$
\begin{align}
(x’,y’) &= \cos \theta (x,y) + \sin \theta (-y,x) \
(x’,y’) &= (x \cos \theta -y \sin \theta,x \sin \theta + y \cos \theta)
\end{align}
$$
即可得：
$$
\begin{cases}
x’ = x \cos \theta - y \sin \theta \
y’ = x \sin \theta + y \cos \theta
\end{cases}
$$
复数表示法证明
一个复数乘$e^{i \theta}$相当于模不变逆时针方向旋转了$\theta$角。
欧拉公式：$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$
列出复数关系式并推导：
$$
\begin{align}
x’ + y’ i &= (x + y i) e^{i \theta} \
&= (x + y i)(\cos \theta + i \sin \theta) \
&= (x \cos \theta - y \sin \theta) + (x \sin \theta + y \cos \theta) i
\end{align}
$$
实部与实部相等，虚部与虚部相等：
$$
\begin{cases}
x’ = x \cos \theta - y \sin \theta \
y’ = x \sin \theta + y \cos \theta
\end{cases}
$$