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由泰勒公式的麦克劳林公式展开可得：
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5!} + \cdots
$$
观察欧拉公式：
$$
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
$$
令 $x = i \theta$ 代入 $e^x$ 得：
$$
e^{i \theta} = 1 + i \theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i \theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots ①
$$
令 $x = \theta$ 代入 $\cos x$ 得：
$$
\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots②
$$
令 $x = i \theta$ 代入 $\sin x$ 得：
$$ {③}
\sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots ③
$$
即 ① = ② + ③ 可得：
$$
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
$$